Показатели вариации

Что такое Остаточное стандартное отклонение?

Остаточное стандартное отклонение – это статистический термин, используемый для описания разницы в стандартных отклонениях наблюдаемых значений по сравнению с прогнозируемыми значениями, как показано точками в регрессионном анализе .

Регрессионный анализ – это метод, используемый в статистике, чтобы показать взаимосвязь между двумя разными переменными и описать, насколько хорошо вы можете предсказать поведение одной переменной на основе поведения другой.

Остаточное стандартное отклонение также называется стандартным отклонением точек вокруг подобранной линии или стандартной ошибкой оценки.

Ключевые моменты

• Остаточное стандартное отклонение – это стандартное отклонение остаточных значений или разница между набором наблюдаемых и прогнозируемых значений.
• Стандартное отклонение остатков вычисляет, насколько точки данных разбросаны по линии регрессии.
• Результат используется для измерения ошибки предсказуемости линии регрессии.
• Чем меньше остаточное стандартное отклонение по сравнению со стандартным отклонением выборки, тем более предсказуемой или полезной является модель.

Как найти среднее арифметическое чисел?

Чтобы найти среднее арифметическое, необходимо сложить все числа в наборе и разделить сумму на количество. Например, оценки школьника по информатике: 3, 4, 3, 5, 5. Что выходит за четверть: 4. Мы нашли среднее арифметическое по формуле: =(3+4+3+5+5)/5.

Как это быстро сделать с помощью функций Excel? Возьмем для примера ряд случайных чисел в строке:

1. Ставим курсор в ячейку А2 (под набором чисел). В главном меню – инструмент «Редактирование» – кнопка «Сумма». Выбираем опцию «Среднее». После нажатия в активной ячейке появляется формула. Выделяем диапазон: A1:H1 и нажимаем ВВОД.
2. В основе второго метода тот же принцип нахождения среднего арифметического. Но функцию СРЗНАЧ мы вызовем по-другому. С помощью мастера функций (кнопка fx или комбинация клавиш SHIFT+F3).
3. Третий способ вызова функции СРЗНАЧ из панели: «Формула»-«Формула»-«Другие функции»-«Статические»-«СРЗНАЧ».

Или: сделаем активной ячейку и просто вручную впишем формулу: =СРЗНАЧ(A1:A8).

Теперь посмотрим, что еще умеет функция СРЗНАЧ.

Найдем среднее арифметическое двух первых и трех последних чисел. Формула: =СРЗНАЧ(A1:B1;F1:H1). Результат:

Об этой статье

wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 24 человек(а). Количество просмотров этой статьи: 60 155.

Категории: Математика

English:Calculate Mean, Standard Deviation, and Standard Error

Español:calcular el promedio, la desviación estándar y el error estándar

Deutsch:Berechnung des Mittelwertes, der Standardabweichung und der Standardfehler

Italiano:Calcolare la Media, la Deviazione Standard e l’Errore Standard

Português:Calcular Média, Desvio Padrão e Erro Padrão

Français:calculer la moyenne l’écart type et l’erreur type

Nederlands:Het gemiddelde en de standaarddeviatie berekenen

中文:计算均值、标准差和标准误差

Bahasa Indonesia:Menghitung Mean, Standar Deviasi, dan Standar Error

Печать

Интерпретация величины среднеквадратического отклонения

Большее значение среднеквадратического отклонения показывает больший разброс значений в представленном множестве со средней величиной множества; меньшее значение, соответственно, показывает, что значения в множестве сгруппированы вокруг среднего значения.

Например, у нас есть три числовых множества: {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} и {6, 6, 8, 8}. У всех трёх множеств средние значения равны 7, а среднеквадратические отклонения, соответственно, равны 7, 5 и 1. У последнего множества среднеквадратическое отклонение маленькое, так как значения в множестве сгруппированы вокруг среднего значения; у первого множества самое большое значение среднеквадратического отклонения — значения внутри множества сильно расходятся со средним значением.

В общем смысле среднеквадратическое отклонение можно считать мерой неопределённости. К примеру, в физике среднеквадратическое отклонение используется для определения погрешности серии последовательных измерений какой-либо величины

Это значение очень важно для определения правдоподобности изучаемого явления в сравнении с предсказанным теорией значением: если среднее значение измерений сильно отличается от предсказанных теорией значений (большое значение среднеквадратического отклонения), то полученные значения или метод их получения следует перепроверить.

Как посчитать среднеквадратичное отклонение в экселе?

В программе эксель можно посчитать среднеквадратичное отклонение двумя способами: использовать стандартные формулы или воспользоваться специальной функцией. Рассмотрим оба метода расчета и сравним их результаты.

Перед нами таблица, состоящая из двух строк и шести столбцов, на основании этих данных и будем делать расчет.

Первый способ.

Первый шаг. Рассчитаем среднее значение пяти данных показателей, для этого воспользуемся функцией СРЗНАЧ, в ячейке «В3» напишем формулу: =СРЗНАЧ(B2:F2).

Второй шаг. Рассчитаем отклонения каждого показателя от среднего, для этого в ячейке «В4» пишем формулу: =B2-$B$3, знаки доллара ставим, чтобы при копировании данной формулы на другие ячейки, параметр среднего значения всегда вычитался. Копируем соответственно данную формулу на другие ячейки.

Третий шаг. Возведем каждое отклонения от среднего в квадратный корень, для этого в ячейке «В5» пишем формулу: =B4^2, которую копируем на оставшийся диапазон ячеек (с «С5» по «F5»).

Четвертый шаг. Посчитаем сумму квадратных отклонений, для этого в ячейке «В6» напишем формулу =СУММ(B5:F5).

Пятый шаг. У нас все готово, чтобы рассчитать среднеквадратичное отклонения. Для этого нужно сумму отклонений от среднего значения в квадрате (8,8) разделить на количество опытов минус один (5-1) и от получившегося значения изъять квадратный корень. Пишем в ячейке «В8» формулу: =КОРЕНЬ((B6/(5-1))).

В итоге получили цифру равную 1,483

Второй способ.

Программа эксель позволяет избегать такого количества расчетов, а, следовательно, сэкономить время, вам просто нужно воспользоваться для расчета среднеквадратичное отклонения функцией СТАНДОТКЛОН, вы внутри неё указываете диапазон, для которого нужно сделать расчет. В ячейке «В8» пишем формулу =СТАНДОТКЛОН(B2:F2).

В итоге результаты обоих вариантов расчета среднеквадратичного отклонения совпали, а вы выбирайте метод, который наиболее подходит к вам.

Понимание остаточного стандартного отклонения

Остаточное стандартное отклонение является благость-из-приступа меры , которая может быть использована для анализа того, насколько хорошо набор точек данных согласуются с реальной моделью. В бизнес-среде, например, после выполнения регрессионного анализа по нескольким точкам данных затрат с течением времени, остаточное стандартное отклонение может предоставить владельцу бизнеса информацию о разнице между фактическими затратами и прогнозируемыми затратами, а также представление о том, сколько из них прогнозируется. затраты могут отличаться от среднего значения исторической стоимости.

Сущность, область применения и порядок определения моды и медианы.

Кроме степенных средних в статистике для относительной характеристики величины варьирующего признака и внутреннего строения рядов распределения пользуются структурными средними, которые представлены ,в основном, модой и медианой.

Мода — это наиболее часто встречающийся вариант ряда. Мода применяется, например, при определении размера одежды, обуви, пользующейся наибольшим спросом у покупателей. Модой для дискретного ряда является варианта, обладающая наибольшей частотой. При вычислении моды для интервального вариационного ряда необходимо сначала определить модальный интервал (по максимальной частоте), а затем — значение модальной величины признака по формуле:

где:

– — значение моды

– — нижняя граница модального интервала

– — величина интервала

– — частота модального интервала

– — частота интервала, предшествующего модальному

– — частота интервала, следующего за модальным

Медиана — это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.

Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот сначала вычисляют полусумму частот , а затем определяют, какое значение варианта приходится на нее. (Если отсортированный ряд содержит нечетное число признаков, то номер медианы вычисляют по формуле:

М_е = (n_{(число признаков в совокупности)} + 1)/2,

в случае четного числа признаков медиана будет равна средней из двух признаков находящихся в середине ряда).

При вычислении медианы для интервального вариационного ряда сначала определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана, а затем — значение медианы по формуле:

где:

– — искомая медиана

– — нижняя граница интервала, который содержит медиану

– — величина интервала

– — сумма частот или число членов ряда

– – сумма накопленных частот интервалов, предшествующих медианному

– — частота медианного интервала

Пример. Найти моду и медиану.

Решение: В данном примере модальный интервал находится в пределах возрастной группы 25-30 лет, так как на этот интервал приходится наибольшая частота (1054).

Рассчитаем величину моды:

Это значит что модальный возраст студентов равен 27 годам.

Вычислим медиану. Медианный интервал находится в возрастной группе 25-30 лет, так как в пределах этого интервала расположена варианта, которая делит совокупность на две равные части (Σf_i/2 = 3462/2 = 1731). Далее подставляем в формулу необходимые числовые данные и получаем значение медианы:

Это значит что одна половина студентов имеет возраст до 27,4 года, а другая свыше 27,4 года.

Кроме моды и медианы могут быть использованы такие показатели, как квартили, делящие ранжированный ряд на 4 равные части, децили – 10 частей и перцентили — на 100 частей.

Алгебра

43. Дисперсия и среднее квадратичное отклонение

При анализе результатов наблюдений полезно иметь сведения о разбросе данных в ряду. Некоторое представление об этом даёт размах ряда, но он является слишком грубой оценкой. Поэтому известные вам статистические показатели дополняют ещё одним понятием, называемым дисперсией.

Разъясним смысл понятия дисперсия на примере.

Пусть имеется ряд данных

7, 5, 10, 6, 5, 15.

Среднее арифметическое этого ряда равно:

Для каждого члена ряда найдём его отличие, или, как говорят, его отклонение от среднего арифметического:

Нетрудно подсчитать, что сумма отклонений равна нулю:

(-1) + (-3) + 2 + (-2) + (-3) + 7 = 0.

Вообще для любого ряда данных сумма отклонений от среднего арифметического равна нулю и потому не может характеризовать разброс данных в ряду.

Для того чтобы судить о разбросе данных в некотором ряду, поступают следующим образом: составляют ряд квадратов отклонений и вычисляют среднее арифметическое этого ряда, которое называют дисперсией заданного ряда данных.

Дисперсия является мерой разброса чисел в ряду.

В приведённом примере дисперсия ряда равна:

Рассмотрим такой пример. При подготовке к соревнованиям по стрельбе из пистолета спортсмены Петров и Смирнов произвели по 8 серий выстрелов. Подсчитывая для каждой серии, состоящей из 10 выстрелов, число попаданий в цель, получили такие данные:

Петров: 10, 10, 9, 7, 10, 7, 10, 9;
Смирнов: 10, 9, 10, 9, 10, 8, 8, 8.

Для каждого ряда данных найдём среднее арифметическое:

Вычислим дисперсию для каждого ряда данных.

Для ряда результатов, показанных Петровым, имеем

Для ряда результатов, показанных Смирновым, имеем

Мы видим, что, хотя среднее арифметическое числа попаданий в обоих случаях одинаково, разброс данных во втором ряду меньше. Следовательно, Смирнов показал на тренировке более стабильный результат.

Одна из особенностей дисперсии состоит в следующем: если в ряду, содержащем большое число данных, есть лишь несколько данных, значительно отличающихся от среднего арифметического этого ряда, то дисперсия такого ряда обычно бывает невелика.

Необходимо отметить, что дисперсия как характеристика ряда данных имеет существенный недостаток. Он заключается в следующем. Если величины измеряются в каких-либо линейных единицах, например, в метрах, часах, килограммах и т. п., то дисперсия измеряется в квадратах этих единиц, т. е. в мерах, некоторые из которых не имеют реального смысла. Поэтому, при оценке разброса данных дисперсию часто заменяют другим показателем, называемым средним квадратичным отклонением.

Для результатов стрельбы, показанных Петровым и Смирновым, дисперсия, согласно расчётам, равна соответственно 1,5 и 0,75. Среднее квадратичное отклонение в первом случае равно , а во втором оно равно .

Среднее квадратичное отклонение принято обозначать греческой буквой а (сигма). В рассмотренном примере σ₁ = ≈ 1,2, σ₂ = ≈ 0,9.

Упражнения

1. Для ряда чисел 5, 6, 8, 10, 7, 2 найдите:

   а) среднее арифметическое;
   б) отклонение каждого члена ряда от среднего арифметического;
   в) сумму квадратов отклонений;
   г) дисперсию ряда.

2. Вычислите дисперсию ряда чисел:

   а) 6, 8, 10, 12, 9;
   б) -4, -1, -2, 7, 5, 4.

3. Составьте какой-либо ряд, состоящий из пяти чисел. Найдите для него:

   а) среднее арифметическое;
   б) дисперсию;
   в) среднее квадратичное отклонение.

4. В таблице приведены средние месячные температуры (в градусах Цельсия), установленные для Москвы и Хабаровска для первого полугодия на основе наблюдений, проводившихся в течение 80 лет.

   Пользуясь калькулятором, найдите для каждого ряда данных:

   а) среднее арифметическое месячных температур;
   б) отклонения температур от среднего арифметического;
   в) дисперсию.

   Объясните, какие особенности климата отражены в значениях дисперсии.

5. Найдите дисперсию и среднее квадратичное отклонение для ряда чисел:

   а) -5, -8, 6, 7, 4, 3;
   б) 1, 0, 3, 0, б, 4.

6. Для произвольного ряда, составленного из пяти двузначных чисел, найдите среднее квадратичное отклонение.

7. Как изменится дисперсия ряда чисел

   х₁, х₂, х₃, х₄, х₅, х₆,

   если каждое число увеличить на положительное число а? Проверьте результат на примере ряда 1, 3, 6, 8, -1, -2 и а = 4. Выскажите предположение и проведите доказательство.

Расчет среднеквадратического отклонения

Для начала расчета среднеквадратического отклонения введите исходные числа в одно из полей ввода-вывода данных.
В первое поле можно ввести последовательность чисел, разделенных точкой с запятой (программа попытается так же преобразовать к стандартному виду, например, вставленную копию последовательности чисел с плавающей точкой, разделенных пробелами, запятой или точкой с запятой).
Во второе поле можно вводить числа по одному — они автоматически будут добавляться к данным первого поля, если расчет не запустился автоматически, кликните по зеленой кнопке, показывающей количество чисел в исследуемом массиве:
 

Введите исходные данные

Введите число

Сохранить исходный ряд данныхупорядочить данные по возрастаниюупорядочить данные по убываниювернуть исходную последовательность

Что-то пошло не так…
Прямое восхождение не может быть больше 24 часов,
минуты и секунды больше 60,
а склонение по абсолютной величине не должно быть больше 90°

OK

Среднеквадратическое отклонение, σ

Дисперсия, σ2

Среднее арифметическое, a_ср

Среднее линейное отклонение, δ

Коэффициент вариации, V

Размах вариации, R

Design by Sergey Ov for abc2home.ru

ВНИМАНИЕ! При перезагрузке страницы введенная информация не сохраняется, если Вы не сгенерировали код для записи результатов работы в командной строке:

Сохранить расчет среднеквадратического отклонения в истории браузера

Адресную строку с кодом из Ваших данных Вы можете можете переслать на любое устройство и воспроизвести на нем результаты расчетов

После того как будут введены хотя бы два исходных числа цвет квадратной кнопки на поле ввода данных должен поменяться с оранжевого на зеленый и автоматически начнется расчет среднеквадратического отклонения и сопутствующих параметров, если это не произошло, то кликните по зеленому полю кнопки.

• Среднее арифметическое — расчет онлайн, определение, формула
• Среднеквадратическое отклонение — расчет онлайн, определение, формула
• Среднее геометрическое — расчет онлайн, определение, формула
• Среднее гармоническое и среднее степенное — расчет онлайн, определения, формулы
• Среднее квадратическое — расчет онлайн, определение, формула

Принципы определения показателей вариации

Пример №4

Средние величины и показатели вариации имеют в статистике важное значение. Они широко применяются для характеристики статистических совокупностей по варьирующим признакам.
В задачах контрольных работ могут приводиться так называемые открытые интервалы, то есть, интервалы, у которых верхняя или нижняя границы точно не определены, а сама граница остается как бы открытой

В этом случае за величину открытого интервала условно принимается величина смежного закрытого интервала. Например, дан вариационный ряд распределения работников магазина:

определении среднего квадратического отклонения_ix

Правило трёх сигм

График плотности вероятности нормального распределения и процент попадания случайной величины на отрезки, равные среднеквадратическому отклонению.

Правило трёх сигм (3σ{\displaystyle 3\sigma }) гласит: вероятность того, что любая случайная величина отклонится от своего среднего значения менее чем на 3σ{\displaystyle 3\sigma }, — P(|ξ−Eξ∣<3σ)≥89{\displaystyle P(|\xi -E\xi \mid <3\sigma )\geq {\frac {8}{9}}}.

Практически все значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале (μ−3σ;μ+3σ){\displaystyle \left(\mu -3\sigma ;\mu +3\sigma \right)}, где μ=Eξ{\displaystyle \mu =E\xi } — математическое ожидание случайной величины. Более строго — приблизительно с вероятностью 0,9973 значение нормально распределённой случайной величины лежит в указанном интервале.

Разбираем формулы среднеквадратического отклонения и дисперсии в Excel

Цель данной статьи показать, как математические формулы, с которыми вы можете столкнуться в книгах и статьях, разложить на элементарные функции в Excel.

В данной статье мы разберем формулы среднеквадратического отклонения и дисперсии и рассчитаем их в Excel.

Перед тем как переходить к расчету среднеквадратического отклонения и разбирать формулу, желательно разобраться в элементарных статистических показателях и обозначениях.

Рассматривая формулы моделей прогнозирования, мы встретимся со следующими показателями:

Например, у нас есть временной ряд – продажи по неделям в шт.

Для этого временного ряда i=1, n=10 , ,

Рассмотрим формулу среднего значения:

Для нашего временного ряда определим среднее значение

Также для выявления тенденций помимо среднего значения представляет интерес и то, насколько наблюдения разбросаны относительно среднего. Среднеквадратическое отклонение показывает меру отклонения наблюдений относительно среднего.

Формула расчета среднеквадратического отклонение для выборки следующая:

Разложим формулу на составные части и рассчитаем среднеквадратическое отклонение в Excel на примере нашего временного ряда.

1. Рассчитаем среднее значение для этого воспользуемся формулой Excel =СРЗНАЧ(B11:K11)

= СРЗНАЧ(ссылка на диапазон) = 100/10=10

2. Определим отклонение каждого значения ряда относительно среднего

для первой недели = 6-10=-4

для второй недели = 10-10=0

для третей = 7-1=-3 и т.д.

3. Для каждого значения ряда определим квадрат разницы отклонения значений ряда относительно среднего

для первой недели = (-4)^2=16

для второй недели = 0^2=0

для третей = (-3)^2=9 и т.д.

4. Рассчитаем сумму квадратов отклонений значений относительно среднего с помощью формулы =СУММ(ссылка на диапазон (ссылка на диапазон с )

=16+0+9+4+16+16+4+9+0+16=90

5. , для этого сумму квадратов отклонений значений относительно среднего разделим на количество значений минус единица (Сумма((Xi-Xср)^2))/(n-1)

= 90/(10-1)=10

6. Среднеквадратическое отклонение равно = корень(10)=3,2

Итак, в 6 шагов мы разложили сложную математическую формулу, надеюсь вам удалось разобраться со всеми частями формулы и вы сможете самостоятельно разобраться в других формулах.

Рассмотрим еще один показатель, который в будущем нам понадобятся – дисперсия.

Показатели вариации признака (среднее линейное отклонение, дисперсия простая и взвешенная), среднее квадратическое отклонение

Средняя величина не раскрывает строения совокупности, она не показывает, как располагаются около нее варианты осредняемого признака. Исследование вариации в статистике дает возможность оценить степень воздействия на признак других варьирующих признаков.

Вариация — это различие в значениях какого-либо признака у различных единиц совокупности в один и тот же период времени. Вариация существует в пространстве — это колеблемость значений признака по отдельным территориям и во времени — изменение значений признака в различные периоды времени.

Исследование вариации помогает познать сущность изучаемого явления.

Для измерения вариации признака в совокупности применяют ряд обобщающих показателей:

размах вариации;

коэффициент осцилляции;

среднее линейное отклонение;

средний квадрат отклонений (дисперсия);

среднее квадратическое отклонение;

коэффициент вариации.

где     R — размах вариации;

х —  значение признака;

Показатель вариации учитывает крайние значения признака, которые сильно могут отличаться от всех других единиц, поэтому иногда пользуются показателем осцилляции:

где K — коэффициент осцилляции;

 R — размах вариации;

        — средняя арифметическая этого ряда.

Среднее линейное отклонение представляет среднюю арифметическую из абсолютных значений отклонений отдельных вариаций (значений признака) от их средней арифметической (знаки отклонений не учитываются). Среднее линейное отклонение может быть простым и взвешенным и измеряется в тех же единицах, что и величина признака. Вычисление среднего линейного отклонения производится по формулам:

1. для несгруппированных данных:

где— среднее линейное отклонение;

   x — значениe признака;

        — среднее значение признака;

  n — численность признаков.

2. если данные наблюдения представлены в виде дискретного ряда распределения с частотами, тогда:

Дисперсия — это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней величины. исперсия еще называется средним квадратом отклонений и обозначается (сигма квадрат). В зависимости от исходных данных дисперсия может вычисляться по средней арифметической простой или взвешенной:

реднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии и обозначается (сигма):

Среднее квадратическое отклонение — это обобщающая характеристика абсолютных размеров вариации признака в совокупности и выражается в тех же единицах измерения, что и сам признак (в метрах, тоннах, гектарах и т. д.). Вычислению среднего квадратического отклонения предшествует расчет дисперсии. Среднее квадратическое отклонение показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения.

Для осуществления такого рода сравнений, а также сравнений колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с различным средним арифметическим используют коэффициент вариации.

Коэффициент вариации — это отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

%.

В отличие от среднего квадратического отклонения коэффициент вариации является относительной величиной, что используется при сравнении вариаций любых совокупностей.

И чем больше его величина (V), тем больше разброс значений признака вокруг средней, тем менее однородна совокупность по своему составу и тем менее представительна средняя.

Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.

Похожие записи:

Как и зачем очищать историю поиска Инструкция по созданию загрузочного носителя программой «windows 7 usb/dvd download tool» Просмотр характеристик компьютера на windows 7 6 способов исправления ошибки «video_tdr_failure» в windows 10 Что делать, если ноутбук не видит сети wi-fi в windows 10 If and in excel